2020年高考数学(理)圆锥曲线专项练习题及解析

15．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足―→(FA)＋―→(FB)＋―→(FC)＝0，则kAB(1)＋kAC(1)＋kBC(1)＝________.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，0(p)，由―→(FA)＋―→(FB)＋―→(FC)＝0，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝x2－x1(y2－y1)＝y1＋y2(2p)，所以kAC＝y1＋y3(2p)，kBC＝y2＋y3(2p)，所以kAB(1)＋kAC(1)＋kBC(1)＝2p(y1＋y2)＋2p(y3＋y1)＋2p(y2＋y3)＝0.
答案：0
16．已知点A在椭圆25(x2)＋9(y2)＝1上，点P满足―→(AP)＝(λ－1)―→(OA) (λ∈R)(O是坐标原点)，且―→(OA)·―→(OP)＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
【解析】因为―→(AP)＝(λ－1)―→(OA)，所以―→(OP)＝λ―→(OA)，即O，A，P三点共线，因为―→(OA)·―→(OP)＝72，所以―→(OA)·―→(OP)＝λ|―→(OA)|2＝72，设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为θ，线段OP在x轴上的投影长度为|―→(OP)||cos θ|＝|λ||x|＝―→(OA)|2(OA)＝x2＋y2(72|x|)＝|x|(9)≤25(16×9)＝15，当且仅当|x|＝4(15)时取等号，故所求最大值为15.
答案：15