摘要： 已知函数f(x)=(x-1)(x2+2)ex-2x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)证明:f(x)>-x2-4.
参考答案及解析：
【解析】(1)因为f′(x)=2x(x-1)ex+x(x2+2)ex-2
=x2e
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)证明:f(x)>-x2-4.
参考答案及解析：
【解析】(1)因为f′(x)=2x(x-1)ex+x(x2+2)ex-2
=x2ex(x+2)-2,所以f′(0)=-2,
因为f(0)=-2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x-2.
(2)要证f(x)>-x2-4,只需证(x-1)(x2+2)ex>-x2+2x-4,
设g(x)=-x2+2x-4=-(x-1)2-3,
h(x)=(x-1)(x2+2)ex,则h′(x)=x2ex(x+2),
令h′(x)≥0得x≥-2,令h′(x)<0得x<-2,所以h(x)min=h(-2)=-
,因为e≈2.718,所以-
>-3,又g(x)max=-3,所以g(x)max<h(x)min,
从而(x-1)(x2+2)ex>-x2+2x-4,即f(x)>-x2-4.
