已知方程x³+ax²+bx+c=0(a,b,c∈R). (1)设a=b=4,方程有三个不同实根,求c的取值范围; (2)求证:a²-3b>0是方程有三个不同实根的必要不充分条件.

已知方程x³+ax²+bx+c=0(a,b,c∈R).
(1)设a=b=4,方程有三个不同实根,求c的取值范围;
(2)求证:a²-3b>0是方程有三个不同实根的必要不充分条件.
参考答案及解析：
【解析】设f(x)=x³+ax²+bx+c.
(1)当a=b=4时,方程x³+4x²+4x+c=0有三个不同实根,
等价于函数f(x)=x³+4x²+4x+c=0有三个不同零点,
f′(x)=3x²+8x+4,令f′(x)=0得x1=-2或x²=-,
f(x)与f′(x)在区间(-∞,+∞)上情况如下:

 

所以,当c>0时且c-<0时,存在x1∈(-∞,-2),x2∈,x3∈,
使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.
由f(x)的单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.
即方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根.
(2)f′(x)=3x2+2ax+b,当Δ=4a2-12b<0时,f′(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞),
此时函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,
所以f(x)不可能有三个不同零点.
当Δ=4a2-12b=0时,f′(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0,
当x∈(-∞,x0)时,f′(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
所以f(x)不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.
故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.
当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x
=x(x+2)2只有两个不同零点,
所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.
因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
即a2-3b>0是方程x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件.