摘要： 已知函数f(x)=x3-ax2+x+4.(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若对任意的x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥4ln x+8恒成立,求a的取值范围;
(3)当a=3时,设函数g(x)=f(x)-
(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若对任意的x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥4ln x+8恒成立,求a的取值范围;
(3)当a=3时,设函数g(x)=f(x)-kx.证明:对于任意的k<1,函数g(x)有且只有一个零点.
参考答案及解析：
【解析】(1)已知函数f(x)=x3-ax2+x+4,
可得f′(x)=3x2-2ax+1,f′(0)=1,且f(0)=4,
函数f(x)在x=0处的切线方程为x-y+4=0.
(2)f(x)+f(-x)=-2ax2+8≥4ln x+8对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以-2a≥
.令v(x)=
,x>0,则v′(x)=4·
=4
,令v′(x)=0,解得x=
.当x∈(0,
)时,v′(x)>0,所以v(x)在(0,
)上单调递增;当x∈(
,+∞)时,v′(x)<0,所以v(x)在(
,+∞)上单调递减.所以v(x)max=v(
)=
,所以-2a≥
,即a≤-
,所以a的取值范围为
.(3)由已知a=3,则g(x)=x3-3x2+(1-k)x+4,且可知1-k>0.
当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0)有唯一实根.
当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减;在(2,+∞)单调递增.所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.
综上,对于任意的k<1,函数g(x)有且只有一个零点.
