摘要： 已知函数f(x)=x-axln x+1(a>0)在点(2,f(2))处的切线方程为y=kx+3.(1)求a的值.
(2)设g(x)=,求函数g(x)在[-1,+∞)上的最大值.
参考答案及解析：
【解析】(1)由题意,函数f
(1)求a的值.
(2)设g(x)=
,求函数g(x)在[-1,+∞)上的最大值.参考答案及解析：
【解析】(1)由题意,函数f(x)=x-axln x+1(a>0),则f′(x)=-aln x+1-a,
k=f′(2)=-(ln 2)a-a+1,而f(2)=3-(2ln 2)a,
代入切线方程:3-(2ln 2)a=2(-aln 2+1-a)+3,解得a=1.
(2)由f(x)=x-xln x+1,知f′(x)=-ln x,
令f′(x)>0,解得0<x<1;f′(x)<0,解得x>1,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=2,
根据图象的变换可得,当x=0时,函数f(x+1)max=f(1)=2,
再设h(x)=
,当x>-1时,h(x)=
>0,h′(x)=
,令h′(x)>0,解得-1<x<0;h′(x)<0,解得x>0,h(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,h(x)max=h(0)=1,
因为g(x)=h(x)·f(x+1)的定义域为(-1,+∞),
所以g(x)在(-1,+∞)上的最大值为g(0)=h(0)f(1)=2.
