2020年高考数学(理)圆锥曲线专项练习题及解析

3．已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且―→(AF)与―→(FB)反向，则该双曲线的离心率为(　　)
A.2(5)   B.
C.    D.2(5)
【解析】选C　设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝a(b)，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝|OA|(|AB|)，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝4(1)m，∴－tan 2α＝－1－tan2α(2tan α)＝|OA|(|AB|)＝m(3)＝3(4)，解得a(b)＝2或a(b)＝－2(1)(舍去)，∴b＝2a，c＝ ＝ a，∴e＝a(c)＝ .
4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2―→(OA)＋―→(OB)－3―→(OP)＝0，则弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为________．
【解析】依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y＝－1，因为2(―→(OA)－―→(OP))＋(―→(OB)－―→(OP))＝0，即2―→(FA)＋―→(FB)＝0，所以F，A，B三点共线．设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x2＝4y，(y＝kx＋1，)得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4，　①
又2―→(FA)＋―→(FB)＝0，因此2x1＋x2＝0，　②
由①②解得x1(2)＝2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为2(1)[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝2(1)(y1＋y2)＋1＝8(1)(x1(2)＋x2(2))＋1＝1()＋1＝4(9).
答案：4(9)