摘要： 如图1，已知BC是圆的直径，线段RQ∥BC，A是RQ上的任意一点，AF与⊙O相切于点F，连接AB与⊙O相交于点M，D是AB上的一点，且AD＝AF，DE垂直于AB并与AC的延长线交于点E.(1)当点A处于图2中A0的位
(1)当点A处于图2中A0的位置时，A0C与⊙O相切于点C．求证：△A0DE≌△A0CB；
(2)当点A处于图3中A1的位置时，A1F∶A1E＝1∶2，A1C∶BC＝
∶
.求∠BCA1的大小；(3)图1中，若BC＝4，RQ与BC的距离为3，那么△ADE的面积S与点A的位置有没有关系？请说明理由．
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【解析】 (1)证明：∵A0C与⊙O相切，AF与⊙O相切，∴A0F＝A0C，
∴∠A0CB＝∠A0DE＝90°.
∵A0D＝A0F，∴A0C＝A0D．
在△A0CB与△A0DE中，
A0D＝A0C，∠DA0E＝∠CA0B，
∠A0DE＝∠A0CB，
∴△A0CB≌△A0DE.
(2)连接MC，
∵BC是直径，
∴MC⊥A1B，
而DE⊥A1B，
∴MC∥DE，
∴∠E＝∠A1CM.
∵A1F＝A1D＝
A1E，∠A1DE＝90°，
∴Rt△A1DE中，∠E＝∠A1CM＝30°
∴∠DA1C＝60°.
∵A1C∶BC＝
∶
，
设A1C＝
a，则BC＝
a，
∴∠A1CM＝∠E＝30°.
∴A1M＝
A1C＝
a，
∴Rt△A1MC中，MC＝
A1M＝
a，
∴∠BCM＝45°.
∴∠A1CB＝∠A1CM＋∠BCM＝30°＋45°＝75°.
(3)由(2)MC∥DE，
∴
＝
.①
而AF为切线，
∴AF2＝AM·AB，
∴
＝
，
而AF＝AD，
∴
＝
.②
由①、②得
＝
，
∴
AD·DE＝
AB·MC，
即S△ADE＝S△ABC，而S△ABC＝
×3×4＝6，
∴无论A在何处，都有S△ADE＝6.
即：S△ABC＝S△ADE不随A的位置的变化而变化．
