摘要： 已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D．（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O半径的长；
（3）在（2）的条件下，当O
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）要证FD是⊙O的切线只要证明∠OCF＝90°即可；
（2）根据已知证得△OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长；
（3）根据S阴影＝S△OCD﹣S扇形OBC从而求得阴影的面积．
【解答】证明：（1）连接OC（如图①），
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠A．
∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE＝90°．
∴∠1+∠AOE＝90°．
∵∠FCA＝∠AOE，
∴∠1+∠FCA＝90°．
即∠OCF＝90°．
∴FD是⊙O的切线．
（2）连接BC，（如图②）
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC（垂径定理）．
又∵AO＝OB，
∴OE∥BC且
．∴∠OEG＝∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∠EOG＝∠GCB（两直线平行，内错角相等），
∴△OEG∽△CBG．
∴
．∵OG＝2，
∴CG＝4．
∴OC＝OG+GC＝2+4＝6．
即⊙O半径是6．
（3）∵OE＝3，由（2）知BC＝2OE＝6，
∵OB＝OC＝6，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∵在Rt△OCD中，CD＝OC•tan60°＝6
，∴S阴影＝S△OCD﹣S扇形OBC＝
＝
．
