摘要： 如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接 （1）求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；
（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，
∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，
∴
，∴
t，
又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，
∴△AEF∽△ADG，∴
，∴
，又∵AE=OA+OE=2
+t，
∴
，∴EG=AE-AG=
，
当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，∴△ADF∽△BFH，
∴
，∵AF∥CD，∴
，∴
，∴
，
解得：t1=
，t2=
（舍去），∴EG=EH=
；
（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=
，∵DE=EF，∠DEF=90°，
∴∠DEO=∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S
=
．
