如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点． (1)求∠FDE的度数；

如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
(1)求∠FDE的度数；
(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
(3)当G为线段DC的中点时．
①求证：FD＝FI；
②设AC＝2m，BD＝2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．

 

 

【解析】 (1)∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE＝90°；
(2)四边形FACD是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD．
∴∠AEB＝90°.
又∵∠FDE＝90°，
∴∠AEB＝∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；
(3)①连接GE，如图．

∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．
∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，
∴∠FHI＝∠FGE.
∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE＝90°，
∴∠FHI＝90°.
∵∠DEC＝∠AEB＝90°，G为线段DC的中点，
∴DG＝GE，
∴＝，
∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴FD＝FI；
②∵AC∥DF，∴∠3＝∠6.
∵∠4＝∠5，∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，∴EI＝EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，
∴DE＝BD＝n，AE＝AC＝m，FD＝AC＝2m，
∴EF＝FI＋IE＝FD＋AE＝3m.
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：
n2＋(2m)2＝(3m)2，
即n＝m，
∴S⊙O＝π2＝πm2，S菱形ABCD＝·2m·2n＝2mn＝2m2，
∴S⊙O：S菱形ABCD＝.