如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝1/3，BC＝6． （1）求证：∠CO

如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）求证：CF是⊙O的切线．
 
【解答】解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，
∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；
（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，
∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，
∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，
∴x＝（负值舍去），
∴OC＝3x＝，
∴⊙O的半径OC为；

 

1. ∵DF＝2OD，

∴OF＝3OD＝3OC，
∴，
∵∠COE＝∠FOC，
∴△COE∽△FOE，
∴∠OCF＝∠DEC＝90°
∴CF是⊙O的切线．