湖北恩施2020中考模拟数学试卷计算题答案及解析

19.如图，抛物线y=ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=–x–2经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
 
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+x–2．（2）①点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.②直线l的解析式为y=–x–2，y=x–2或y=x–m–2．
【解析】（1）∵直线y=–x–2交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A（-4，0），C（0，-2）.
∵抛物线y=ax2+x+c经过点A，C，
∴，∴ 
∴抛物线的解析式为y=x2+x–2．
（2）①∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2+m–2）.
当△PCM是直角三角形时，有以下两种情况：
（i）当∠CPM=90°时，PC∥x轴，x2+x–2=-2.
解得m1=0（舍去），m2=-2.
∵当m=-2时，m2+m–2=-2.
∴点P的坐标为（-2，-2）.
（ii）当∠PCM=90°时，过点P作PN⊥y轴于点N，
∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
：∠NCP=∠OAC，∴△GNP∽△AOC，∴，
∵C（0，-2），N（0，m2+m–2），
∴CN=，PN=m.
即，解得a3=0（含去），m4=6.
∵当m=6时，m2+m–2=10，
∴点P的坐标为（6，10）.
综上所述，点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.
②当y=0时，x2+x–2=0，
解得x1=–4，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，–2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（–2，–4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为（m，–m–2）．
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y=–x+，
直线B′M的解析式为y=x–，
直线BB′的解析式为y=x–2．
分三种情况考虑，如图2所示：
 
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y=–x–2；
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y=x–2；
当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，–m–2）时，直线l的解析式为y=x–m–2．
综上所述：直线l的解析式为y=–x–2，y=x–2或y=x–m–2．