2020年3月天津市高考模拟数学试卷（含参考答案及解析）

17．的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点为边的中点，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，可得，
由余弦定理可得，故.
（2）因为为的中线，所以，
两边同时平方可得，
故.
因为，所以.
所以的面积.
18．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
 
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.
【解析】（1）由题意，因为，，，∴，
又∴，∴，
∵侧面，∴.
又∵，，平面
∴直线平面.
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，
设平面的一个法向量为
，
∵，∴，令，则，∴
设平面的一个法向量为，，，
∵，∴，令，则，∴，
，，，∴.
设二面角为，则.
∴设二面角的余弦值为.
（3）假设存在点，设，∵，，
∴，∴∴
设平面的一个法向量为，
∴，得.
即，∴或，∴或.