2020年3月天津市高考模拟数学试卷（含参考答案及解析）

19．如图，已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点．过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.
 
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为等腰三角形，求点的坐标；
（3）若，求的值.
【答案】（1）（2）（3） 
【解析】（1）由题意得，解得
∴椭圆的标准方程：
（2）∵为等腰三角形，且∴点在轴下方
 若，则；
 若，则，∴；
 若，则，∴；
∴
∴直线的方程，由得或
∴
（3）设直线的方程，
由得
∴ ∴ 
∴ ∴ 
若，则∴，∴，∵，∴，∴与不垂直；
∴，∵，，
∴直线的方程，直线的方程: 
由 解得 ∴ 
又点在椭圆上得，即，即 
∵，∴ 
20．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是（2）
【解析】（1）函数的定义域是.
因为，
又，令，解得，
所以函数的单调递增区间是.
（2）由，得
令，
则（）
由，得，由，得
所以函数在内单调递减，在内单调递增，
由题可知方程在区间内恰有两个相异的实根，
则，即，解得，
综上所述，实数取值范围是.