摘要： 2019－2020学年第一学期江苏省南京市高三十校联合调研数学试题（12月）数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时 2019－2020学年第一学期江苏省南京市高三十校联合调研数学试题（12月）
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
，
，则集合
＝ ▲ ．
2．若复数
（
是虚数单位），则
的实部为 ▲ ．
3．根据如图所示的伪代码，则输出I的值为 ▲ ．
4．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为
，为调查该
校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法抽取若
干人，若抽取的高一年级人数为
人，则抽取的样本容量为 ▲ ．
5．函数
的定义域为 ▲ ．
6．甲、乙两人依次从标有数字
的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字
的卡片的概率为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系
中，若双曲线
的离心率为
，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
8．已知函数
，若函数
是偶函数，则
▲ ．
9．已知数列
是公差为正数的等差数列，其前
和为
，首项为
，若
成等比数列，则
= ▲ ．
10．某种圆柱形的饮料罐的容积为
个单位，当它的底面半径和高的比值为 ▲ 时，可使得所用材料最省．
11．在平面直角坐标系
中，已知直线
，点
，若满足
的点P到直线
的距离恒小于
，则实数
的取值范围是 ▲ ．
12．如图，在
中，
，
，
为
的中点，
与
交于点
，
为
的中点，则
▲ ．
13．已知
，且
，
则
的最大值为 ▲ ．
14．已知偶函数
满足
，且当
时
，关于
的不等式
在区间
上有且仅有
个整数解，则实数
的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知
分别为
三个内角A，B，C的对边，且
．
（1）若
，
，求边
的长；
（2）若
，求
的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在斜三棱柱
中，已知
为正三角形，
，
分别是
，
的中点，平面
平面
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面
．
17．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆
的焦点到相应准线的距离为
，离心率为
，过右焦点
作两条互相垂直的弦
，设
的中点分别为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若弦
的斜率均存在，且
和
的面积分别为
，试求当
最大时，直线
的方程．
18．（本小题满分16分）
如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：
，
，
，
长
千米，
长
千米．公园内有一个形状是扇形的天然湖泊
，扇形
以
长为半径，弧
为湖岸，其余部分为滩地，
点是公园的进出口．公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段
－线段
－弧
，其中
在线段
上（异于线段端点），
与弧
相切于
点（异于弧端点）．根据市场行情，
，
段的建造费用是每千米
万元，湖岸段
的建造费用是每千米
万元（步行道的宽度不计），设
为
弧度，观光步行道的建造费用为
万元．
（1）求步行道的建造费用
关于
的函数关系式，并求其定义域；
（2）当
为何值时，步行道的建造费用最低？
19．（本小题满分16分）
已知函数
，
，
．
（1）求函数
的单调增区间；
（2）令
，且函数
有三个彼此不相等的零点
，其中
．
①若
，求函数
在
处的切线方程；
②若对
，
恒成立，求实数
的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知等差数列
的前
项和为
，且满足
，数列
是首项为
，公比为
的等比数列．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设正整数
成等差数列，且
，若
，求实数
的最大值；
（3）若数列
满足
，其前
项和为
，当
时，是否存在正整数
，使得
恰好是数列
中的项？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
