摘要: 如图四棱锥P-ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,侧面PAD是边长为的正三角形,底面ABCD为矩形,,点Q是PD的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面
B.与平面所成角的余弦值为
C.三棱锥的体积为
A.平面
B.与平面所成角的余弦值为
C.三棱锥的体积为
解:取的中点,的中点,连接,
因为三角形为等边三角形,所以,
因为平面平面,所以平面 ,
因为,所以两两垂直,
所以,如下图,以为坐标原点,分别以所在的直线为轴,轴 ,轴,
建立空间直角坐标系,则,
,
因为点是的中点,所以,
平面的一个法向量为,
,显然 与不共线,
所以与平面不垂直,所以A不正确;
,
设平面的法向量为,则
,
令,则,
所以,
设与平面所成角为,
则,
所以,所以B正确;
三棱锥的体积为
,
所以C不正确;
设四棱锥外接球的球心为,则,
所以,
解得,即为矩形对角线的交点,
所以四棱锥外接球的半径为3,
设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为,
将四面体拓展成正方体,其中正四面体棱为正方体面的对角线,
故正方体的棱长为,所以,得,
所以正四面体的表面积为,所以D正确.
故选:BD
【点睛】
此题考查线面垂直,线面角,棱锥的体积,棱锥的外接球等知识,综合性强,考查了计算能力,属于较难题.